中学生の皆さんこんにちは！今日は一緒に数学の重要単元を勉強していきましょう！今回見ていきたいのは中学2年生の数学の重要単元である「一次関数と方程式」について。この単元は高校入試でも頻出で、しっかり理解しておくことが重要です。ではさっそく「一次関数と方程式」の概要とポイントを詳しくお伝えします。
一次関数と方程式の単元
この単元は、前の単元で学習した一次関数という概念を用いた文章題や、グラフ問題の解き方を主軸とした単元です。一次関数をしっかり理解していることが前提ではあるのですが、どちらかというと前の単元よりこの単元の方が重要です。
なぜならば、定期試験や受験で出題されるのはこの形式であり、前の単元で一次関数の概念を理解していたとしても、それだけでは問題を解くことはできないからです。
裏を返せば、一次関数の理解に不安が残っていても、ここを理解してしまえば、点数アップに繋がりやすいのでしっかり学習しましょう。
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一次関数と方程式で学ぶこと
この単元で学ぶことは大きく分けて３つあります。
- １つ目はグラフの読み解き方。
- ２つ目は グラフの交点の求め方。
- ３つ目は応用問題。
これらを全て解説していると膨大な情報量になるので割愛しますが、これを理解するにあたって学習しておかねばならない単元がいくつかあります。
一次関数と方程式の理解のために押さえるべき単元
まず最も重要な単元は「比例・反比例」です。これは一次関数の基礎となる概念です。この単元を理解することで、一次関数のグラフの基本的な形や性質がわかります。
そして、次に「方程式」、「連立方程式」 です。
「方程式」は一次関数の式を理解し、グラフに表す際に必要です。まずは一次関数の式を立て、解くことができるようにしましょう。
「連立方程式」はグラフの交点を求めるために使います。二つの一次関数の交点を求めることが出来るようになると、様々な問題にも対応できるようになります。
もちろん、正負の数なども理解しておかねばならないのですが、直接関係するのはこの３つの単元です。「比例・反比例」は最初に学ぶ関数なので、この単元を理解した上で一次関数を学びます。そして、「方程式」「連立方程式」を駆使して交点の座標を求め、それらを全て理解した上で動点などの応用問題が解けるのです。したがって、一次関数が全く理解できない生徒さんは、まずこの３つの単元の復習が急務であると思います。
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一次関数の勉強法
一次関数は中学３年生で二次関数、高校になると三次関数と進化していき、難易度も上がっていきます。なのでここでつまずかないようにせねばなりません。そのためにこの単元にはしっかりと時間を使ってほしいと思います。
勉強法としては、とにかく様々な問題を解くことです。実は一次関数の問題は文言や数字が違うだけで、解き方の種類はそれほど多くはありません。例えるならば、投げられた時の受け身のとり方は数種類しかないのです。その数種類さえ覚えてしまえば、あとは計算力や読解力の問題となってきます。
また文章題などは国語力も必要になってくるので、文章に慣れるためにも様々な問題を解き、対策することが重要です。
文章題を解くためには、まず問題文をしっかりと読み、何を求められているのかを明確にすることが重要です。次に、問題文の情報を整理し、関数や方程式を立てます。必要に応じて、図や表を使って情報を視覚化することも有効です。文章題に慣れるためには、様々なパターンの問題を解き、解き方のコツをつかむことが大切です。
- 基本問題をしっかり解く: 基本的な問題を繰り返し解くことで、一次関数の解き方のパターンを身につけましょう。例えば、一次関数の式を立ててグラフを描く練習をしましょう。
- 応用問題に挑戦: 基本を理解したら、次は応用問題に取り組みましょう。文章題やグラフ問題を解く力が身につきます。例えば、動点の問題や比例を利用した応用問題に挑戦してみましょう。
- 間違いを見直す: 間違えた問題をしっかり復習することが重要です。なぜ間違えたのかを理解し、同じミスを繰り返さないようにしましょう。
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一次関数と方程式の具体的な学習ステップ
グラフの読み解き方
一次関数のグラフは直線です。まず、一次関数の基本形である $y=mx+b$ を理解しましょう。ここで、$m$ は傾き、$b$ は $y$切片です。
この式を使って、具体的な問題を解いていきましょう。
例えば $y=2x+3$ という関数のグラフを描くとき、$x$ の値に対して $y$ の値を求め、それをグラフに点と線で書いていきましょう。
グラフの交点の求め方
二つの一次関数の交点を求めるためには、連立方程式を解く必要があります。つまり$x$ の値と $y$ の値を求めるという事です。
例えば、$y=2x+3$ と $y=−x+1$ という連立方程式があったとします。この2つの一次関数の交点を求めるには、これらの方程式を連立させて解きます。
$y=2x+3$の$y$に$y=−x+1$を代入すると、以下の式が得られます。
$$2x+3=−x+1$$
これを解いて、$x$の値を求めましょう。
$$3x=−2$⟹$x=-\frac{2}{3}$$
次に、この$x$の値をどちらかの方程式に代入して$y$ の値を求めます。これで交点の座標を求めることができます。
実際に代入してみると、$y=2×-\frac{2}{3}+3$となり、$y$ の値は $\frac{5}{3}$というように求まります。
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練習問題とその解説
ではここで基本問題と応用問題を準備したので、是非チャレンジしてみて下さい！
最初は解説を見ないでやってみましょう。
基本問題
- $y=3x−2$ のグラフを描きなさい。
- $y=−2x+4$ のグラフを描きなさい。
解説
一次関数のグラフを描くには、関数の式を元にして、いくつかの点を求め、それを平面上に書いていきます。次にその点同士を直線で結びます。では、各式のグラフの描き方を詳しく解説します。
1．$y=3x−2$ のグラフを描く
- 式の形
一次関数は$y=mx+b$ という形をしています。
・ここで、$m$ は傾き、$b$ は切片です。
・$y=3x−2$ では、傾き$m=3$ で、切片$b=−2$ です。 - 切片の点
・$y$ 切片は$y$ 軸とグラフが交わる点です。
・この場合、切片$b=−2$ なので、y 軸上の$y=−2$ に点を描きます。 - もう一つの点を打つ
・$x$ に適当な値を代入してもう一つの点を求めます。例えば、$x=1$ のときを考えましょう。
・$x=1$ を代入すると$y$の値は$y=3(1)−2=1$ になります。
・$x=1$のとき$y=1$なので座標 $(1, 1)$ に点を打ちます。 - 直線の描画
・切片の点$ (0, -2)$ と、$(1, 1)$ を直線で結びます。
これで$y=3x−2$ のグラフが完成します。
2. $y=−2x+4$ のグラフを描く
- 式の形
・この式も$y=mx+b$ という形をしています。
・$y=−2x+4$ では、傾き$m=−2$ で、切片$b=4$ です。 - 切片の点
・切片$b=4$ なので、$y$ 軸上の$y=4$ に点を描きます。 - もう一つの点を打つ
・$x$ に適当な値を代入してもう一つの点を求めます。例えば、$x=1$ のとき。
・$x=1$ を代入して$y=−2(1)+4=2$ になります。
・点を $(1, 2) $の位置に打ちます。 - 直線の描画
・切片の点$ (0, 4)$ と、$(1, 2) $を直線で結びます。
これで$y=−2x+4$ のグラフが完成です。では次に応用問題をやってみましょう。
応用問題
$y=3x−2 とy=−x+4$ の交点を求めなさい。
解説
連立方程式を解いて$x$の値を求めます。
$$3x−2=−x+4⟹4x=6⟹x=1.5$$
次に、$y$ の値を求めます。
$$y=3(1.5)−2=4.5−2=2.5$$
したがって、交点の座標は
$(1.5,2.5)$ です。
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一次関数と方程式のまとめ
一次関数と方程式の学習
一次関数と方程式の理解の重要性
一次関数と方程式の理解は、数学の学習において非常に重要です。この単元をしっかりと学び、基本から応用までの問題に対応できるようにしましょう。皆さんの学習が成績向上と自信につながることを願っています。これからの勉強も一緒に頑張りましょう！
受験に頻出の単元
今回学習した「一次関数と方程式」は、受験にも出題されやすい重要な単元です。単元を学習する上では、読解力や前の単元からの積み重ねなど、必要な力が多くありますが、逆に復習できる良いチャンスと捉え、戻りながら学習してほしいと思います。
最後に
中学2年生になってレベルも格段に上がってきていると感じるかもしれませんが、勉強方法は変わらず反復が基本です。一次関数と方程式にも何度も何度もチャレンジして、確実に点数を上げていきましょう！
